Question

9．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中点，F是PC的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥面PAB
（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．

Answer 1

分析 （I）证明DE⊥AB，DE⊥AP，利用线面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB．
（Ⅱ）证明FG与BE平行且相等，可得BF∥GE，利用线面平行的判定可得BF∥面．

解答 （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△ABD为正三角形
E是AB的中点，DE⊥AB，-----------------------------------（2分）
PA⊥面ABCD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥AP，-----------------------------------（4分）
∵AP∩AB=A，
∴DE⊥平面PAB，-----------------------------------（5分）
（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE，-----------------------------------（6分）
∵F，G是中点，
∴FG∥CD且FG=$\frac{1}{2}$CD，
∴FG与BE平行且相等，
∴BF∥GE，-----------------------------------（8分）
∵GE?平面PDE，BF?平面PDE，-----------------------------------（9分）
∴BF∥面PDE．-----------------------------------（10分）

点评 本题考查线面垂直，面面垂直，考查线面平行，考查了空间想象能力和推理论证能力，正确运用判定定理是关键，属于中档题．