Question

20．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），且y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，当x∈（0，2）时f（x）=2x²，则f（2015）=（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -98
• D． 98

Answer 1

分析 由已知可得函数f（x）是周期为4的周期函数，且为奇函数，结合当x∈（0，2）时f（x）=2x²，可得f（2015）的值．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
又∵y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
∴y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
∴函数f（x）为奇函数，
又∵当x∈（0，2）时f（x）=2x²，
∴f（2015）=f（504×4-1）=f（-1）=-f（1）=-2，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．