Question

9．定义在R上的函数f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$，若函数g（x）=f（x）+$\frac{mx}{1+x}$在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）+$\frac{mx}{1+x}$在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点等价于方程mx²+x+m+1=0（*）在区间（-1，1）上有且仅有一个非零的实根．分类讨论，即可求实数m的取值范围．

解答 解：因为$f（x）=\frac{x}{{{x^2}+1}}$，令g（x）=0，即$\frac{x}{{{x^2}+1}}+\frac{mx}{1+x}=0$．-------------------------（2分）
化简得x（mx²+x+m+1）=0．所以x=0或mx²+x+m+1=0．
若0是方程mx²+x+m+1=0的根，则m=-1，----------------------------------（4分）
此时方程为-x²+x=0的另一根为1，不满足g（x）在（-1，1）上有两个不同的零点．------------（6分）
所以函数$g（x）=f（x）+\frac{mx}{1+x}$在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点等价于方程mx²+x+m+1=0（*）在区间（-1，1）上有且仅有一个非零的实根．
（1）当m=0时，得方程（*）的根为x=-1，不符合题意．-----------------------（7分）
（2）当m≠0时，则
①当△=1²-4m（m+1）=0时，得$m=\frac{{-1±\sqrt{2}}}{2}•$若$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$，
则方程（*）的根为$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1-\sqrt{2}}}=\sqrt{2}-1∈（-1，1）$，符合题意，--------（8分）
若$m=\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}$，则方程（*）的根为$x=-\frac{1}{2m}=-\frac{1}{{-1+\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}-1∉（-1，1）$，
不符合题意．所以$m=\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}•$-------------------------------------------------（9分）
②当△＞0时，$m＜\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}$或$m＞\frac{{-1+\sqrt{2}}}{2}•$
令ϕ（x）=mx²+x+m+1，由ϕ（-1）ϕ（1）＜0且ϕ（0）≠0，得-1＜m＜0．------------------（11分）
综上所述，所求实数m的取值范围是$（-1，0）∪\{\frac{{-1-\sqrt{2}}}{2}\}$．----------------------（12分）．

点评 本题考查了函数的零点与方程的解的关系应用，属于中档题．