Question

【题目】已知二次函数对任意实数，都有恒成立.

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）若，求的表达式；

（Ⅲ）在题（Ⅱ）的条件下设，若图象上的点都位于直线的上方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（1）令即可得解；

（2）由， 求得，即，再由二次不等式恒成立的条件为 >0，判别式非正，即可得到，c，进而得到解析式；
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数判别式求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：由题意可得，则；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，即，

又，即，

两式相减可得： ，即，

所以，

对任意实数，都有，即为恒成立，

则有，化简得，

所以，

所以，经检验，符合题意.

（Ⅲ）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，即.

（ⅰ）由，即，解得；

（ⅱ）由，解得，综上可知， .

法2：由题意知在上恒成立.

（ⅰ）当时， 成立；

（ⅱ）当时， 在上恒成立，又当时， （当且仅当时取得最小值），所以，解得.

点集：解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需即可； 恒成立，只需即可.

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.