Question

已知函数f(x)是在(0，＋∞)上每一点处可导的函数，若x(x)＞f(x)在x＞0上恒成立．

(1)求证：函数(0，＋∞)上是增函数；

(2)当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)；

(3)已知不等式ln(1＋x)＜x在x＞－1且x≠0时恒成立，求证：…＋N₊)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：由g(x)＝(x)＝ 　　由x(x)＞f(x)可知：(x)＞0在x＞0上恒成立． 　　从而g(x)＝　　3分 　　(2)由(1)知g(x)＝ 　　在x1＞0，x2＞0时，　 　　于是＜ 　　两式相加得到：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)　　7分 　　(3)由(2)中可知： 　　g(x)＝ 　　由数学归纳法可知：xi＞0(i＝1，2，3，…，n)时， 　　有f(x1)＋f(x2)＋f(x3)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋x3＋…＋xn)(n≥2)恒成立．　　9分 　　设f(x)＝xlnx，则在xi＞0(i＝1，2，3，…，n)时 　　有x1lnx1＋x2lnx2＋…＋xnlnxn＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)(n≥2)……(*)恒成立． 　　令…＋＝…＋ 　　由＜…＋ 　　＞…＋　　10分 　　(x1＋x2＋…＋xn)ln(x1＋x2＋…＋xn)＜(x1＋x2＋…＋xn)ln(1－…＋xn) 　　(∵ln(1＋x)＜x)＜－(**)　　12分 　　由(**)代入(*)中，可知： 　　…＋ 　　于是：…＋　　13分