题目内容
已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立.?(1)求证:函数g(x)=
在(0,+∞)上是增函数;
(2)求证:当x1＞0,x2＞0时,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0时恒成立,求证:
ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2＞
(n∈N*).
证明:(1)由g(x)=,对g(x)求导数知g′(x)= . ?
由xf′(x)＞f(x)可知:g′(x)＞0在x＞0时恒成立.??
从而g(x)= 在x＞0时是单调递增函数. ?
(2)由(1)知g(x)= 在x＞0时是增函数.?
在x1＞0,x2＞0时,＞,
＞ 
. ?
于是f(x1)＜
f(x1+x2),f(x2)＜
f(x1+x2).??
两式相加得到f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2). ?
(3)由(2)可知g(x)=
在x＞0上单调递增时,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0,x2＞0)恒成立.
由数学归纳法可知xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,?
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.?
设f(x)=xlnx,则在xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,?
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2) ①?
恒成立. ?
令xn=
,记Sn=x1+x2+…+xn=
+
+…+
.?
由Sn＜
+
+…+
=1-
.?
Sn＞
+
+…+
=
-
.?
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(1-
)＜-
(x1+x2+…+xn)
（∵ln(1+x)＜x)＜-
( 
-
)=-
. ②
则②代入①中,可知
ln
+
ln
+…+
ln
＜-
.?
于是
ln22+
ln32+…+
ln(n+1)2＞
.
在(0,+∞)上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0,+∞)上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在（0，+∞）上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0，+∞)上单调递增；