题目内容
已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立.(Ⅰ)求证：函数g(x)=
在(0,+∞)上是增函数；
(Ⅱ)求证：当x1＞0,x2＞0时，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0时恒成立，求证：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
解：(Ⅰ)由g(x)=，对g(x)求导数知g′(x)=.
由xf′(x)＞f(x)可知：g′(x)＞0在x＞0时恒成立.
从而g(x)=在x＞0时是单调递增函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知g(x)=在x＞0时是增函数.
在x1＞0,x2＞0时，＞,
＞
.
于是f(x1)＜
f(x1+x2),f(x2)＜
f(x1+x2).
两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：g(x)=
在x＞0上单调递增时,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0，x2＞0)恒成立.
由数学归纳法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.
设f(x)=xlnx，则在xi＞0(i=1,2,3,…,n)时，
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)…①
恒成立.
令xn=
，记Sn=x1+x2+…+xn=
+
+…+
.
由Sn＜
+
+…+
=
.
Sn＞
+
+…+
=
-
.
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(
)＜-
(x1+x2+…+xn)
∵ln(1+x)＜x＜-
(
-
)=-
. ②
则②代入①中，可知：
ln
+
ln
+…+
ln
＜-
.
于是
ln22+
ln32+…+
ln(n+1)2＞
.
在(0,+∞)上是增函数;
ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0,+∞)上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在（0，+∞）上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0，+∞)上单调递增；