题目内容
已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数，若xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立.(Ⅰ)求证：函数g(x)=
在(0,+∞)上是增函数；
(Ⅱ)求证：当x1＞0,x2＞0时，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
(Ⅲ)求证：
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
(Ⅰ)证明：∵g′(x)=,又xf′(x)＞f(x)在x＞0时恒成立，
∴g′(x)＞0,∴g(x)=在(0,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)证明：当x1＞0,x2＞0时，有x1+x2＞x1,x1+x2＞x2,
由（Ⅰ）得g(x1+x2)＞g(x1),g(x1+x2)＞g(x2),
即：＞,＞.
∴x1f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x1),
x2f(x1+x2)＞(x1+x2)f(x2),
∴(x1+x2)f(x1+x2)＞(x1+x2)(f(x1)+f(x2)),
∴f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2).
(Ⅲ)用数学归纳法证明
(ⅰ)当n=1时，左=
=
ln4,
右=
=
·
，由于ln4＞1＞
,
∴
ln4＞
·
.即原不等式成立.
(ⅱ)假设n=k时，命题成立.即：
+
+
+…+
＞
,
那么：
+
+
+…+
＞
2
+
=
=
·
≥
.
这就是说，当n=k+1时，命题也成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切n∈N*,都有
+
+
+…+
＞
成立.
练习册系列答案
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在(0,+∞)上是增函数;
ln22+
ln32+
ln42+…+
)2ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0,+∞)上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在（0，+∞）上是增函数；
ln22+
ln32+
ln42+…+
ln(n+1)2＞
(n∈N*).
在(0，+∞)上单调递增；