Question

设．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）当时，求实数的取值范围，使得对任意恒成立．

Answer 1

（1）切线方程为：x－ey＝0；（2）当a≤0时，g（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增；（3）0＜m＜e．

【解析】

试题分析：（1）， 1分

由导数的几何意义可知，，

所以切线的方程为：，即x－ey＝0； 3分

（2）， 4分

当a≤0时，在（0，＋∞）上，此时g（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a＞0时，在（0，a）上，此时g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上，此时g（x） 在（a，＋∞）上单调递增； 7分

综上所述：当a≤0时，g（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增； 8分

（3）当a＝1时，，不等式为，即，只需lnm小于的最小值即可． 10分

由（2）可知，在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

∴当x＝1时，． 12分

故lnm＜1，可得0＜m＜e，∴m的取值范围是0＜m＜e． 13分

考点：考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及最值．