Question

已知函数f（x）=x²-alnx．
（Ⅰ）当x=1时f（x）取得极值，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

解：（I），
∵f'（1）=0，∴a=2，
∴
f'（x）＞0，即x＞1时，函数f（x）=x²-2lnx单调递增；
f'（x）＜0，即0＜x＜1时，函数f（x）=x²-2lnx单调递减．
综上：函数f（x）=x²-2lnx的单调递增区间为（1，+∞）；
函数f（x）=x²-2lnx的单调递减区间为（0，1）
（II）
当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增
∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1
当a＞0时，
（1）当0＜a≤2时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为4
（2）当2＜a＜8时，函数在[1，]上递减，在[，2]上递增；
所以当时f（x）有最小值，并且最小值为
（3）当8≤a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为（4-aln2）
分析：（Ⅰ）先求出导函数，根据x=1时f（x）取得极值求出a=2；再令导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．