Question

如图2-4-12，P为⊙O的直径CB延长线上的一点，A为⊙O上一点，若=，AE交BC于D，且∠C=∠PAD.

图2-4-12

(1)求证：PA为⊙O的切线；

(2)若∠BEA=30°，BD=1，求AP及PB长.

Answer 1

思路分析:对于（1），A已经是圆上一点，所以可以连结OA，证明PA与OA垂直；对于（2），将∠E利用圆周角定理转移到Rt△ODA和Rt△OAP中，解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.

（1）证明:连结AO，∵=，BC为直径，∴AE⊥BC，AD=DE，=.

∵OA=OC，∴∠C=∠3.∴∠1=2∠C.

又∵∠C=∠PAD，∴∠1=∠2.

∵∠1＋∠4=90°，∴∠2＋∠4=90°.

∴PA⊥OA.

∴PA为⊙O的切线.

（2）解:在Rt△EBD中，∵∠BEA=30°，BD=1,∴BE=2，DE=.

在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E=30°=∠E，∠ODA=∠BDE，AD=ED，

∴Rt△ODA≌Rt△EBD.

∴AD=DE=，OD=BD=1，OA=BE=2.

在Rt△OAP中，∵AD⊥OP，

∴AD²=OD·DP，即()²=1·DP.

∴DP=3.∴BP=2.

在Rt△ADP中，根据勾股定理，得AP=.