Question

如图2-4-12,P为⊙O的直径CB延长线上的一点,A为⊙O上一点,若=,AE交BC于D,且∠C =∠PAD.

图2-4-12

(1)求证:PA为⊙O的切线;

(2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求AP及PB的长.

Answer 1

思路分析:对于（1）,A已经是圆上一点,所以可以连结OA,证明PA与OA垂直;对于（2）,将∠E利用圆周角定理转移到Rt△ODA和Rt△OAP中,解直角三角形即可得到线段AP及PB的长.

（1）证明:连结AO,∵=,BC为直径,∴AE⊥BC,AD =DE,  =.

∵OA =OB,∴∠C =∠3.?

∴∠1=2∠C.?

又∵∠C =∠PAD,∴∠1=∠2.?

∵∠1+∠4=90°,?

∴∠2+∠4=90°.?

∴PA⊥OA.?

∴PA为⊙O的切线.

（2）解:在Rt△EBD中,∵∠BEA =30°,BD＝1,∴BE =2,DE =.?

在Rt△ODA和Rt△EBD中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C=90°-2∠E =30°=∠E,∠ODA =∠BDE,?AD =ED,?

∴Rt△ODA≌Rt△EBD.?

∴AD =DE =,OD =BD =1,OA =BE =2.?

在Rt△OAP中,∵AD⊥OP,?

∴AD²=OD·DP,即=1·DP.?

∴DP =3.?

∴BP =2.?

在Rt△ADP中,根据勾股定理,得 ==.