Question

如图，正三棱锥O－ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知．

(1)求证：B₁C₁⊥平面OAH；

(2)求二面角O－A₁B₁－C₁的大小；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥． 　　又是的中点，所以⊥，则⊥． 　　因为⊥，⊥， 　　所以⊥面，则⊥， 　　因此⊥面． 　　(2)作⊥于，连．因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角． 　　作⊥于，则∥，则是的中点，则． 　　设，由得，，解得， 　　在中，，则，． 　　所以，故二面角为． 　　解法二：(1)以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 　　 　　所以 　　所以 　　所以平面 　　由∥得∥，故：平面 　　(2)由已知设 　　则 　　由与共线得：存在有得 　　 　　同理： 　　 　　设是平面的一个法向量, 　　则令得 　　又是平面的一个法量 　　 　　所以二面角的大小为 　　(3)由(2)知，，，平面的一个法向量为． 　　则． 　　则点到平面的距离为