Question

已知数列{a_n}的首项a₁＝1，其前n项和为S_n，且对任意正整数n，有n，a_n，S_n成等差数列

(1)求证：数列{S_n＋n＋2}成等比数列．

(2)求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵n，an，Sn成等差数列 　　∴2an＝n＋Sn 　　又an＝Sn－Sn－1(n≥2) 　　∴2(Sn－Sn－1)＝n＋Sn 　　即Sn＝2Sn－1＋n 　　∴Sn＋n＋2＝2Sn－1＋2(n＋1)＝2[Sn－1＋2(n－1)＋2]且S1＋1＋2＝4≠0 　　∴{Sn＋n＋2}是等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　　7分; 　　(2)∵Sn＋n＋2＝4·2n－1＝2n＋1 　　∴Sn＝2n＋1－n－2 　　∴an＝Sn－Sn－1＝2n－1 　　又当n＝1时，a1＝S1＝1＝21－1 　　∴an＝2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分