Question

已知数列{a_n}的首项a₁=

1

2

，前n项和S_n=n²a_n（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b₁=0，b_n=

Sn-1

Sn

(n≥2)，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：Tn＜

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）求出S_n-1=（n-1）²a_n-1②和s_n=n²a_n①，利用①-②得到数列{a_n}的通项公式a_n即可；
（2）将通项公式a_n代入①得到s_n的通项公式，则得到b_n的通项公式，列举出T_n的各项，利用等比数列的求和公式得到不等式成立．

解答：解：（1）由a1=

1

2

，Sn=n2an，①
∴S_n-1=（n-1）²a_n-1，②
①-②得：a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即

an

an-1

=

n-1

n+1

(n≥2)
∵

an

a1

=

an

an-1

•

an-1

an-2

a3

a2

•

a2

a1

=

n-1

n+1

•

n-2

n

2

4

•

1

3

=

2

n(n+1)

∴an=

1

n(n+1)

（2）∵Sn=

n

n+1

，
∴bn=

Sn-1

Sn

=1-

1

n2

(n≥2)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=n-(

1

12

+

1

22

++

1

n2

)＜n-(1-

1

n+1

)=

n2

n+1

故Tn＜

n2

n+1

．

点评：考查学生会用做差法求数列通项公式，会用等比数列的前n项和的公式求和，会进行不等式的证明．