Question

（本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是CB、CD、CC₁的中点．

（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；

（2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；

（3）求证：平面AA₁C⊥面EFG ．

 

Answer 1

【答案】

（1） ；  （2）见解析；（3）见解析。

【解析】

试题分析：(1)因为 平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,

然后解三角形求出此角即可.

（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B₁D₁内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.

(3)易证：BD平面AA₁C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA₁C⊥面EFG.

（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

平面ABCD

∴AC为在平面ABCD的射影

∴为与平面ABCD所成角……….2分

正方体的棱长为

∴AC=，=

                  ………..4分

  （2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

连接BD，∥，=

  为平行四边形

∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点

∴EF∥BD∴EF∥…………3分

∵EF平面GEF，平面GEF

∴∥平面GEF               …………7分

同理∥平面GEF∵=

∴平面A B₁D₁∥平面EFG         ……………9分

（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁∴   平面ABCD

∵EF平面ABCD

∴ EF              …………10分

∵ABCD为正方形

∴ACBD

∵EF∥BD

∴AC EF              ………..11分

∴EF平面AA₁C

∵EF平面EFG

∴平面AA₁C⊥面EFG         …………….12分.

考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.

点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.