题目内容

已知在同一平面内
OA
、
OB
、
OC
满足条件：
OA
+
OB
+
OC
=
0
，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|≠0．
（I）求证：△ABC为正三角形；
（II）类比于（I），在同一平面内，若向量
OA
，
OB
，
OC
，
OD
满足条件：
OA
+
OB
+
OC
=
0
，|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|≠0，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明．
分析：（I）利用向量的运算法则将等式中的向量
OA
，
OB
，
OC
用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．
（II）先设|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=r，根据向量的运算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC从而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线及、O、D三点共线，又|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|得出四边形ABCD为矩形．
解答：解：精英家教网（I）证明：设|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=r
则
OA
+
OB
+
OC
=
0
?
OA
+
OB
=-
OC
?(
OA
+
OB
)2=
OC
2?(
OA
+
OB
)2=
OC
2?cos∠AOB=-
1
2
?∠AOB=
2π
3
（3分）
AB
=
OB
-
OA
?
AB
2=
OB
2+
OA
2-2
OB
•
OA
=3r2?|
AB
|=
3
r同理|
AB
|=|
BC
|=
3
r=|
AC
|
∴△ABC为正三角形（6分）
（II）四边形ABCD为矩形（8分）设|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|=r，则
OA
+
OB
=-
OC
-
OD
?(
OA
+
OB
)2=(-
OC
-
OD
) 2?2r2+2r2cos∠AOB=2r2+2r2cos∠COD?∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线
同理B、O、D三点共线又|
OA
|=|
OB
|=|
OC
|=|
OD
|
∴四边形ABCD为矩形．（12分）
点评：本题考查向量的运算法则及利用向量判断出三角形的形状．解答的基础是对向量运算和变形的熟悉掌握．
练习册系列答案
相关题目
已知点A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若
OP
-
OA
=λ(
AB
+
1
2
BC
)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
在同一平面内，已知
OA
=(cosα，sinα)，
OB
=(cosβ，sinβ)，且
OA
•
OB
=0．若
OA
′=(cosα，2sinα)，
OB
′=(cosβ，2sinβ)，则△A'OB'的面积等于（　　）
已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，则下列命题正确的是
①②③④⑤
①②③④⑤
．（写出所有正确命题的编号）
①若λ=
1
2
，μ=
1
2
，则点M是线段AB的中点；
②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
③若λ=
1
|
OA
|
，μ=
1
|
OB
|
，则点M在∠AOB的平分线上；
④若λ=
1
3
，μ=
1
3
，则点M是△OAB的重心；
⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或
λ＞
1
2
μ＞
1
2
．
已知O，A，B是同一平面内不共线的三点，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，则下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的编号）
①若λ=
1
2
，μ=
1
2
，则点M是线段AB的中点；
②若λ=-1，μ=2，则M，A，B三点共线；
③若λ=
1
|
OA
|
，μ=
1
|
OB
|
，则点M在∠AOB的平分线上；
④若λ=
1
3
，μ=
1
3
，则点M是△OAB的重心；
⑤若点M在△OAB外，则λ＜0或μ＜0或
λ＞
1
2
μ＞
1
2
．

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