Question

已知函数f(x)满足f(x)＋(0)－e^－x＝－1，函数g(x)＝－λlnf(x)＋sinx是区间[－1，1]上的减函数．

(1)当x≥0时，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值；

(2)若g(x)＜t²＋λt＋1在x∈[－1，1]时恒成立，求t的取值范围；

(3)设函数h(x)＝－lnf(x)－ln(x＋m)，常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h(x)在区间[e^－m－m，e^2m－m]内的零点个数，并作出证明．

Answer 1

答案：
解析：

①因为，切线的斜率为切点 　　故切线的方程为即，1分 　　令得，又令得 　　所以 　　从而 　　∵当时，，当时，， 　　所以的最大值为 　　②由①知：， 　　上单调递减， 　　即在[－1，1]上恒成立， 　　要使时恒成立 　　因 　　(其中)恒成立， 　　令， 　　则恒成立， 　　 　　③函数连续，且 　　 　　当时，为减函数， 　　当时，为增函数， 　　根据函数极值判别方法，为极小值，而且 　　对都有 　　故当整数时， 　　所以当整数时，， 　　函数在上为连续减函数． 　　 　　由所给定理知，存在唯一的 　　而当整数时， 　　 　　类似地，当整数时，函数在上为连续增函数且与异号，由所给定理知，存在唯一的故当时，方程在内有两个实根．15分