Question

设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，
（Ⅰ）若，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．
解答：解：由a²-b²=c²与，得a²=2b²，，l的方程为
设
则
由得①
（Ⅰ）由，得②③
由①、②、③三式，消去y₁，y₂，并求得a²=4
故
（Ⅱ）证明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²
当且仅当或时，|MN|取最小值
此时，
故与共线．
点评：此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．