Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD∥BC，O为AD中点，PO⊥底面ABCD．又．
（I）求直线PA和CD所成角的余弦值；
（II）求B-PA-D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BC中点E，连接AE，OE，则∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角，利用余弦定理可求；
（II）设B-PA-D的平面角为α，利用cosα=可求．
解答：解：（I）取BC中点E，连接AE，OE，则
∵AD=4，BC=8，
∴AE∥DC
∴∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角
∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥AO，PO⊥OE
∵底面ABCD为等腰梯形，
∴OE=2，AE=，PE=
∵PO=4，AO=2
∴PA=
∴cos∠PAE===；
（II）设B-PA-D的平面角为α，则
∵底面ABCD为等腰梯形，AD=4，BC=8，∴∠ABC=45°，∴∠BAD=135°，
在△BAO中，，∴BO==
∴PB==6
在△PAB中，PB=6，PA=，AB=，∴cos∠PAB==-
∴sin∠PAB=
∴=6
∵=8
∴cosα===．
点评：本题考查空间角，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．本题解答中用到了投影面法求二面角，注意总结其原理且能使用