Question

如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

(1)当点P为对角线AB的中点，点在Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线上运动时，探究|PQ|的最小值．

Answer 1

答案：略
解析：

解：设正方体棱长为2a，则A(2a，2a，0)，B(0，0，2a)，C(0，2a，0) D(0，2a，2a)，O(0，0，0)， (1)∵P为AB的中点，∴设P点坐标为(a，a，a) 又Q点在CD上运动，∴设Q点坐标为(0，2a，z) ∴ 当且仅当a=z时，|PQ|最小，最小值为，此时，P、Q在平行于xOy平面的平面上． (2)连结BQ、QA，则△AQB为等腰三角形，∴|PQ|的最小值为过Q作BA的垂线段的长，即P为AB中点，其最小值为．