Question

数列{a_n}的前n项和S_n，点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
（1）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，利用前n项和的定义，推出a_n+1与a_n的关系，判断{a_n+3}是否为等比数列；
（2）由（1）计算出a_n+3的通项公式，即可得出{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵S_n=2a_n-3n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n
=[2a_n+1-3（n+1）]-（2a_n-3n）
=2a_n+1-2a_n-3，
∴a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3）；
又∵a₁=S₁=2a₁-3，
∴a₁=3，
∴{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，a_n+3=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1-3=3?2ⁿ-3；
即{a_n}的通项公式为a_n=3•2ⁿ-3．

点评：本题考查了数列前n项和的定义以及利用定义判断是否为等比数列的应用问题，是基础题目．