Question

11．函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α}{2}$）=2，求α的值；
（3）当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．
（2）通过$f（\frac{α}{2}）=2$，求出$sin（α-\frac{π}{6}）\;=\frac{1}{2}$，通过α的范围，求出α的值．
（3）求出角2x-$\frac{π}{6}$的范围结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，
∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，T=π，所以ω=2．
故函数的解析式为y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵$f（\frac{α}{2}）=2$，∴$f（\frac{α}{2}）=2sin（α-\frac{π}{6}）\;+1=2$，
∴$sin（α-\frac{π}{6}）\;=\frac{1}{2}$，
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$-\frac{π}{6}＜α-\frac{π}{6}＜\;\frac{π}{3}$，
∴$α-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
∴$α=\frac{π}{3}$．
（3）若x∈（0，$\frac{π}{2}$]，则2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（sin（-$\frac{π}{6}$），sin$\frac{π}{2}$]=（-$\frac{1}{2}$，1]，
则2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈（-1，2]，2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈（0，3]，
即函数f（x）的取值范围是（0，3]．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力，根据条件求出ω的值是解决本题的关键．．