Question

某矩形花园ABCD，AB=2，AD=

3

，H是AB的中点，在该花园中有一花圃其形状是以H为直角顶点的内接Rt△HEF，其中E、F分别落在线段BC和线段AD上如图．分别记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，Rt△EHF的面积为S
（1）试求S的取值范围；
（2）θ为何值时l的值为最小；并求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）要求S的取值范围，我们要先给了S的表达式，由∠BHE为θ，我们易得HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

，且

π

6

≤θ≤

π

3

，根据三角形面积公式代入给出S的表达式，再结合三角函数的性质，即可求解．
（2）结合（1）中得HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

，

π

6

≤θ≤

π

3

，根据勾股定理，我们可给出周长l的表达式，化简后根据三角函数的性质即可得到答案．

解答：解：（1）：由图可知在Rt△HBE中有HE=

1

cosθ

在Rt△HAF中有HF=

1

sinθ

（2分）
由于E在BC上，F在AD上．故

π

6

≤θ≤

π

3

（4分）
∴S=

1

2

HE•HF
=

1

2

•

1

cosθ

•

1

sinθ

=

1

sin2θ

（6分）
由

π

6

≤θ≤

π

3

得

π

3

≤2θ≤

2π

3

∴sin2θ∈[

3

2

，1]
∴S∈[1，

2 3

3

]（9分）
（2）由HE=

1

cosθ

，HF=

1

sinθ

在Rt△HEF中有FE=

HE2+HF2

=

1

sinθ•cosθ

∴l=

1

sinθ

+

1

cosθ

+

1

sinθ•cosθ

=

sinθ+cosθ+1

sinθ•cosθ

令sinθ+cosθ=t，则sinθ•cosθ=

1

2

(t2-1)
其中t=

2

sin(θ+

π

4

)
∵

π

6

≤θ≤

π

3

∴

5π

12

≤θ+

π

4

≤

7π

12

∴

6 + 2

4

≤sin(θ+

π

4

)≤1
∴

3 +1

2

≤t≤

2

l=

t+1

1 2 (t2-1)

=

2

t-1

，
且

3 +1

2

≤t≤

2

当t=

2

即θ=

π

4

时Rt△HEF的周长l最小，最小值为2(

2

+1)（16分）

点评：本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在解答过程中，根据E在BC上，F在AD上，既定

π

6

≤θ≤

π

3

，容易被忽略，要引起大家足够的重视！