Question

如图，某住宅小区在围墙的墙角处有一矩形绿地ABCD，周围均为荒地，开发商欲把墙角处改造扩建成一个更大的绿地三角形花园AEF，要求EF过点C，若AB长15m，AD长10m．
（1）要使绿地AEF的面积不超过400m²，则AE的长应在什么范围内？
（2）若在改造扩建过程中，原绿地改造的费用为每平方100元，旁边荒地改造的费用为每平方200元，则当AE的长度是多少时，开发商投入的费用最小？并求出最小费用．

Answer 1

解：（1）设BE=xm，则DF=m
∴AE=15+x，AF=+10
∴△AEF的面积为（15+x）（+10）m²，
∵绿地AEF的面积不超过400m²，
∴（15+x）（+10）≤400
∴x²﹣50x+225≤0
∴5≤x≤15
∴20≤AE≤30
（2）由题意，荒地改造的面积最小时，开发商投入的费用最小，此时△AEF的面积最小．△AEF的面积为（15+x）（+10）=≥300，当且仅当，即x=15，AE=30m时，开发商投入的费用最小，最小为100×15×10+200×（300﹣150）=45000元．