Question

【题目】已知，函数（是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，证明：曲线没有经过点的切线；

（Ⅱ）若函数在其定义域上不单调，求的取值范围；

（Ⅲ）是否存在正整数，当时，函数的图象在轴的上方，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，求出切线方程，化简得： ，令，根据函数的单调性判断方程无解，从而证明结论即可；（Ⅱ）分离参数，得，令（），根据函数的单调性求出参数的范围即可；（Ⅲ）问题等价于，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而证明结论即可；

试题解析：（Ⅰ）因为，所以，此时，

设曲线在点处的切线经过点

则曲线在点处的切线

所以

化简得：

令，则，

所以当时， ， 为减函数，

当时， ， 为增函数，

所以，

所以无解

所以曲线的切线都不经过点

（Ⅱ）函数的定义域为，因为，

所以在定义域上不单调，等价于有变号零点，

令，得，令（）．

因为，令， ，

所以是上的减函数，又，故是的唯一零点，

当， ， ， 递增；

当， ， ， 递减；

故当时， 取得极大值且为最大值，

所以，即的取值范围是

（Ⅲ）函数的图象在轴的上方，即对任意， 恒成立．

．令（），

所以

（1）当时， ，即

①当时， ， 是减函数，所以；

②当时， ，

令，则，所以是增函数，

所以当时， ，即

所以在上是增函数，所以，

当时，取，且使，即，

则，

因为，故存在唯一零点，

即有唯一的极值点且为最小值点

所以，又，即，

故，设，

因为，所以是上的减函数，

所以，即

所以当时，对任意， 恒成立

（2）当时， ，因为，取，

则， ，

所以不恒成立，

综上所述，存在正整数满足要求，即当时，函数的图象在轴的上方