Question

二次函数f (x) = ax² + bx + c (a，b∈R，a≠0)满足条件：

①当x∈R时,的图象关于直线对称;

② ;

③f (x)在R上的最小值为0；

（1）求函数f (x)的解析式；

（2）求最大的m (m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f (x + t)≤x

Answer 1

解析：（1）∵f (x)的对称轴为x = 1，∴= 1即b = 2a．

又f (1) = 1，即a + b + c = 1．

由条件③知：a＞0，且= 0，即b² = 4ac．

由上可求得

∴．

（2）由（1）知：f (x) =(x + 1)²，图象开口向上．

而y = f (x + t )的图象是由y = f (x)平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f (x + t)≤x，

即y = f (x + t)的图象在y = x的图象的下方，且m最大．

∴1，m应该是y = f (x + t)与y = x的交点横坐标，

即1，m是(x + t + 1)² = x的两根，

由1是(x + t + 1)² = x的一个根，得(t + 2)² = 4，解得t = 0，或t = -4，

把t = 0代入原方程得x₁ = x₂ = 1(这与m＞1矛盾)

把t = 4代入原方程得x² 10x + 9 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 9．∴m = 9．

综上知：m的最大值为9．