Question

已知二次函数f(x)=

1

2

x2+

3

2

x，数列{a_n}的前n和S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设bn=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据点（n，S_n）（n∈N^*）在函数y=f（x）的图象上，可得Sn=

1

2

n2+

3

2

n，判断数列{a_n}为等差数列，再求出等差数列的通项公式即可．
（2）把{a_n}的通项公式代入bn=

1

anan+1

，化简，再用裂项相消求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由题意得：Sn=f(n)=

1

2

n2+

3

2

n∴数列{a_n}为等差数列
a₁=s₁=2，a₂=s₂-s₁=5-2=3，∴d=a₂-a₁=3-2=1
∴a_n=n+1
（2）bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴Tn=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

点评：本题主要考察了等差数列的通项公式的求法，以及裂项相消求数列的前n项和，属于数列的常规题．