Question

已知二次函数f(x)=ax2+(a2+2)x-

1

4

在x=2处的切线斜率为2，则该函数的最大值为

20

．

Answer 1

分析：求出f′（x），因为函数在x=2处切线的斜率为2，得到f′（2）=2，列出关于a的方程可求出a的值，把a的值代入f（x）中得到二次函数的解析式，根据二次函数求最值的方法即可求出函数的最大值．

解答：解：f′（x）=2ax+a²+2，
因为二次函数在x=2处的切线斜率为2，
则f′（2）=2即4a+a²+2=2，解得a=0（舍去），a=-4
把a=-4代入得f（x）=-4x²+18x-

1

4

，
此二次函数是开口向下的抛物线，
所以当x=-

18

2×(-4)

=

9

4

时，函数的最大值为

4×(-4)×(- 1 4 )-182

4×(-4)

=20
故答案为：20

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用函数的图象求二次函数的最值，是一道中档题．