Question

若（1+x）ⁿ⁺¹的展开式中含x^n-1的系数为a_n，则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的值为（　　）

• A、

  n

  n+1

• B、

  2n

  n+1

• C、

  n(n+1)

  2

• D、

  n(n+3)

  2

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式得a_n，据

1

an

的特点利用数列的裂项相消法求出数列的和．

解答：解：由题意可得
a_n=C_n+1^n-11²=C_n+1²=

(n+1)•n

2

，∴

1

an

=

2

n(n+1)

=2•（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2（

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

）
=2（

1

n

-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
故选项为B

点评：本题考查二项展开式的通项求特殊项的系数；裂项相消法求数列的和．