Question

如图1所示，在边长为的正方形中，，且，,分别交于点，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱中

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）在底边上有一点,,

求证：面

(III)求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略，（Ⅱ）略，（Ⅲ）直线与平面所成角的正弦值为

解析:

（Ⅰ）证明：因为，，

所以，从而，即．………………………2分

又因为，而，

所以平面,又平面

所以；………………4分

（Ⅱ）解：过作交于,连接,

因为……………6分

四边形为平行四边形

,所以平面…………………………8分

(III)解：由图1知，,分别以为轴，

则

………10分

设平面的法向量为，

所以得，

令，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为…………………………12分