Question

（本题满分16分）已知函数在处的切线与直线平行．

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）由题知斜率为 ，所以函数在处的导数为，列出方程，解出

（2）构造函数，将有两个不相等的实根转化为函数有两上零点；然后求导，列表，根据图像列出不等式（3）由是函数的两个极值点，求导得

，根据，求出或 的范围；要求 的最大值，即求的最小值，根据，构造关于的函数，或直接构造关于的函数， 求出最值。

试题解析：【解析】
（1） 2分

∵函数在处的切线与直线平行 ∴，

解得：； 4分

（2）由（1）得，∴，即

设，

则

令，得， 列表得：

			1	（1，2）	2
	0	－	0	+
	极大值		极小值

∴当时，的极小值为，

又 7分

∵方程在上恰有两个不相等的实数根，

∴即解得：；

（也可分离变量解） 10分

（3）解法（一）

∵，∴

∴，

∴

设，则，令，

则，∴在上单调递减； 12分

∵，∴

∵

∴ ∴ ∴ 14分

∴当时， ∴

． 16分

解法（二）

∵，∴

∴， ∴ ∵ ∴

解得： 12分

∴

设，则

∴在上单调递减； 14分

∴当时， ∴

． 16分

考点：导数的几何意义，导数与不等式