题目内容

将函数 $数学公式$ 在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿa_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

解：（1） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
根据正弦函数的性质，
其极值点为 $\text{[math]}$ ，
它在（0，+∞）内的全部极值点构成以 $\text{[math]}$ 为首项，π为公差的等差数列，
数列{a_n}的通项公式为
$\text{[math]}$ ．
（2）由（1）得出 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，两边乘以2得，
$\text{[math]}$
两式相减，得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=-π[（2n-3）•2ⁿ+3]
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]
分析：（1）利用诱导公式将f（x）化简得出f（x）= $\text{[math]}$ ，根据正弦函数的性质，其极值点为 $\text{[math]}$ ，它在（0，+∞）内的全部极值点构成以 $\text{[math]}$ 为首项，π为公差的等差数列．通项公式可求．
（2）由（1）得出 $\text{[math]}$ ，利用错位相消法计算即可．
点评：本题考查了三角函数式的恒等变形、三角函数的性质，等差数列通项公式求解，以及数列求和中的错位相消法．