Question

将函数在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用三角函数的诱导公式及二倍角公式化简函数f（x），令的极值点，判断出全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（2）利用b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出b_n+1作商，利用等比数列的定义判断出{b_n}是以为首项，-1为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项，进一步求出数列{a_n•b_n}的通项，利用错位相减法求出前n项的和．
解答：解：（1）∵ 
=．
令
解得，
所以f（x）的极值点为，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，
∴．
（2）由知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0，
于是，，
∴{b_n}是以为首项，-1为公比的等比数列，
∴．
∴，
•（-1）^n-1）
所以+•（2n-1）（-1）ⁿ）
两式相减得，
数列{a_n•b_n}的前n项和为．
点评：求一个数列的前n项和的方法应该先求出数列的通项，然后按照通项的特点选择合适的求和方法．