题目内容

将函数 $数学公式$ 在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求证： $数学公式$ ，（n=1，2，3，…）．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴f（x）的极值点为 $\text{[math]}$ ，
从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 知对任意正整数n，
a_n都不是π的整数倍，
所以sina_n≠0，
从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项，-1为公比的等比数列．
∴ $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，…）
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，知f（x）的极值点为 $\text{[math]}$ ，从而它在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大排列构成以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 知对任意正整数n，a_n都不是π的整数倍，知sina_n≠0，从而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是 $\text{[math]}$ ，由此能够证明 $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，…）．
点评：第（Ⅰ）题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质和应用，合理运用三角函数的极值点进行解题．
第（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ ，（n=1，2，3，…）．解题时要认真审题，利用三角函数的性质证明{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项，-1为公比的等比数列．