Question

已知函数f(x)=

4

3

x3+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f'（x）-ax-4，若对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=4x²+a，
f'（1）=4+a=2，
所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x²-ax+a-4，
令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，
因为对一切|a|≤1，
都有g（x）＜0恒成立等价于对一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．
所以

φ(-1)＜0 φ(1)＜0

即

4x2-x-3＜0 4x2+x-5＜0

解得-

3

4

＜x＜1．
则当x∈(-

3

4

，1)时，对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．