Question

15．若?x∈D，g（x）≤f（x）≤h（x），则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“随性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x²-2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“随性函数”，则实数k的取值范围是[e-2，2]．

Answer 1

分析 问题转化为k≥x-2，x∈[1，e]，即k≥e-2在x∈[1，e]恒成立以及k≤$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]恒成立，令m（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，x∈[1，e]，根据函数的单调性求出m（x）的最小值，从而求出k的范围即可．

解答 解：由题意得：kx≥x²-2x在x∈[1，e]恒成立，即k≥x-2，
而x∈[1，e]，故k≥e-2，
由kx≤（x+1）（lnx+1）在x∈[1，e]恒成立，
得k≤$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$在[1，e]恒成立，
令m（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，x∈[1，e]，
则m′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$＞0，
m（x）在[1，e]递增，
故m（x）_min=m（1）=2，
故k≤2，
综上，k∈[e-2，2]，
故答案为：[e-2，2]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．