题目内容

过点P（2，1）的直线y-1=k（x-2）（k为常数，k≠ $数学公式$ ）分别交两坐标轴于A、B两点，若 $数学公式$ =t $数学公式$ +s $数学公式$ ，O为坐标原点，则 $数学公式$ + $数学公式$ 的最小值是

A.
4
B.
3
C.
2
D.
1

A
分析：根据题意，点P在直线AB上且在A、B两点之间，所以可设 $\text{[math]}$ ，其中λ＞0．由此推导出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再结合已知等式： $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$ +s $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从而得到t+s=1且t、s都是小于1的正数．最后利用“1的代换”和基本不等式，可以求出 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：∵点P在线段AB上，即在直线AB上且在A、B两点之间，
∴可以设 $\text{[math]}$ 且λ＞0，
∵ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
再结合题意： $\text{[math]}$ =t $\text{[math]}$ +s $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ．
∴t+s=1，因为λ＞0所以t、s都是小于1的正数，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（t+s）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2+（ $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥4，当且仅当t=s= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值为4．
故选A．
点评：本题考查了平面向量基本定理和基本不等式求最值等知识点，属于中档题．解题过程中巧妙地避免了运用坐标进行繁琐的代数化简，请同学们注意这点．