Question

10．已知y=f（x）为定义在R上的奇函数．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，判断（-∞，0）上的单调性并证明；
（2）若x＞0时，f（x）=x²+sinx+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用作差法．我们可以任取区间上满足-∞＜x₁＜x₂＜0的两个实数，再根据函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，易判断函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．
（2）先求f（0）=0，再设x＜0，由奇函数的性质f（x）=-f（-x），利用x＞0时的表达式求出x＜0时函数的表达式．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，0），且-∞＜x₁＜x₂＜0
则0＜-x₂＜-x₁≤+∞
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），f（-x₁）=-f（x₁）
∴f（x₂）＜f（x₁），即f（x）在（-∞，0）上单调递减．
（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x），
设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=x²-sinx+1，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+sinx-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+sinx+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+sinx-1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，考查奇函数的性质求解函数的解析式，关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题，属于中档题．