Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为a，M是A₁B₁的中点．
（I）求证：是平面ABB₁A₁的一个法向量；
（II）求AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（I）以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明是平面ABB₁A₁的一个法向量；
（II）由=，=，=，，能够求出AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角．
解答：解：（I）如图，以点A为坐标原点，平面ABC为xoy平面，
方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（a，0，0），，
M（，
所以=（a，0，0），=．…（5分）
因为，，
所以MC₁⊥AB，MC₁⊥BB₁，
从而MC₁⊥平面ABB₁A₁．
故是平面ABB₁A₁的一个法向量．…（9分）
（II）=．
因为=，
又因为=，，
所以，即．…（13分）
故AC₁与侧面ABB₁A₁所成的角为30°．…（14分）
点评：本题考查平面的法向量的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．