题目内容

如图,正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为
2
a,M是A1B1的中点.
(I)求证:
MC1
是平面ABB1A1的一个法向量;
(II)求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
分析:(I)以点A为坐标原点,平面ABC为xoy平面,
AB
方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能够证明
MC1
是平面ABB1A1的一个法向量;
(II)由
AC1
=(
a
2
3
a
2
2
a)
MC1
AC1
=(0,
3
2
a,0)•(
a
2
3
a
2
2
a)=
3
4
a2
|
MC1
|
=
3
2
a
|
AC1
|=
3
a
,能够求出AC1与侧面ABB1A1所成的角.
解答:解:(I)如图,以点A为坐标原点,平面ABC为xoy平面,
AB
方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(a,0,0),B1(a,0,
2
a)

M(
a
2
,0,
2
a)
C1(
a
2
3
a
2
2
a)

所以
AB
=(a,0,0),
BB1
=(0,0,
2
a),
MC1
=(0,
3
2
a,0)
.…(5分)
因为
MC1
AB
=0
MC1
BB1
=0

所以MC1⊥AB,MC1⊥BB1
从而MC1⊥平面ABB1A1
MC1
是平面ABB1A1的一个法向量.…(9分)
(II)
AC1
=(
a
2
3
a
2
2
a)

因为
MC1
AC1
=(0,
3
2
a,0)•(
a
2
3
a
2
2
a)=
3
4
a2

又因为|
MC1
|
=
3
2
a
|
AC1
|=
3
a

所以cos<
MC1
AC1
>=
1
2
,即
MC1
AC1
>=60°
.…(13分)
故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.…(14分)
点评:本题考查平面的法向量的证明,考查直线与平面所成角的大小的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意向量法的合理运用.
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