Question

如图，正三棱锥ABC—A₁B₁C₁中，底面边长为a,侧棱长为，若经过对角线AB₁且与对角线BC₁平行的平面交上底面于DB₁.

(1)试确定D点的位置，并证明你的结论；

(2)求平面AB₁D与侧面AB₁所成的角及平面AB₁D与底面所成的角；

(3)求A₁到平面AB₁D的距离.

Answer 1

解析：(1)D为A₁C₁的中点，连结A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，DE为平面AB₁D与平面A₁BC₁的交线，?

∵BC₁∥平面AB₁D，BC₁∥DE,?

∴D为A₁C₁的中点.?

(2)过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱锥的性质,AA₁⊥DF,∴DF⊥平面AB₁.?

连结DG，则∠DGF为平面AB₁D与侧面AB₁所成的角的平面角，可求得DF=a.?

由△B₁FG≌△B₁AA₁，得FG=a.?

∴∠DGF=.?

∵D为A₁C₁的中点，∴B₁D⊥A₁C₁.?

由正三棱锥的性质，AA₁⊥B₁D.?

∴B₁D⊥平面A₁C.∴B₁D⊥AD.?

∴∠A₁DA是平面AB₁D与上底面所成的角的平面角，可求得tan∠A₁DA=,?

∴∠A₁DA=arctan.?

(3)过A₁作A₁M⊥AD，∵B₁D⊥平面A₁C，∴B₁D⊥A₁M.∴A₁M⊥平面AB₁D，即A₁M是A₁到平面AB₁D的距离.AD=a,∴A₁M=a.