Question

如图，正三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

2

．
（I）求证：PA₁⊥B₁C₁；
（II）求证：PB₁∥平面AC₁D；
（III）求多面体PA₁B₁DAC₁的体积．

Answer 1

分析：（I）要证PA₁⊥B₁C₁，可以B₁C₁⊥平面A₁PQ，只需要证明B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ，取B₁C₁的中点Q，连A₁Q，PQ，即可证得；
（II）要证PB₁∥平面AC₁D，利用线面平行的判定，只需证明PB₁平行于平面AC₁D中的直线，连接BQ，可以证明四边形BB₁PQ为平行四边形，从而得证；
（III）先求三棱锥P-A₁B₁C₁的体积，再求多面体ABD-A₁B₁C₁的体积，相加即得多面体PA₁B₁DAC₁的体积．

解答：证明：（I）取B₁C₁的中点Q，连A₁Q，PQ
∵PB₁=PC₁，A₁B₁=A₁C₁，
∴B₁C₁⊥A₁Q，B₁C₁⊥PQ
∵A₁Q∩PQ=Q
∴B₁C₁⊥平面A₁PQ，∵PA₁?平面A₁PQ
∴PA₁⊥B₁C₁；
（II）连BQ，在△PB₁C₁中，PB₁=PC₁=

2

，B₁C₁=2，Q为中点，∴PQ=1
∵BB₁=AA₁=1
∴BB₁=PQ
在平面PBB₁CC₁中，BB₁⊥B₁C₁，PQ⊥B₁C₁
∴BB₁∥PQ
∴四边形BB₁PQ为平行四边形
∴PB₁∥BQ
∵BQ∥DC₁
∴PB₁∥DC₁
∴PB₁∥平面AC₁D；
（III）三棱锥P-A₁B₁C₁的体积为

1

3

•

3

4

•22• 1 =

3

3

多面体ABD-A₁B₁C₁的体积为

3

4

•22• 1 -

1

3

•

3

8

•22• 1• 2=

2 3

3

．
∴多面体PA₁B₁DAC₁的体积为

3

3

+

2 3

3

=

3

．

点评：本题以多面体为载体，考查线线，线面位置关系，考查多面体的体积，解题的关键是合理运用线线，线面平行与垂直的判定与性质定理．