Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）设x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f（x）的解析式，可得周期，由整体法可得单调区间；（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-），原问题可转化为方程sin（2x）=1+在区间（0，π）上恰有两根，可得不等式-1且1+，解之即可．
解答：解：（1）由题意可得f（x）==cos2x-cos（2x-）+1
=cos2x-cos2x-sin2x+1=cos2x-sin2x+1
=1-sin（2x-），所以其最小正周期为π，
由2kπ-≤2x-≤2kπ+解得，k∈Z，
故函数的单调递减区间为：（kπ-，kπ+），k∈Z，
（2）由（1）知：y=2f（x）+k=2+k-2sin（2x-）
因为x为三角形的内角，且函数y=2f（x）+k恰有两个零点，
即方程sin（2x）=1+在区间（0，π）上恰有两根，
∴-1且1+，
解得-4＜k＜0，且k≠-3
点评：本题为三角函数与向量的结合，涉及三角函数的周期单调性和函数的零点，属中档题．