题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）求证： $数学公式$ ；
（3）已知a，b∈（-1，1），且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求f（a），f（b）的值．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 可得函数的定义域（-1，1），关于原点对称
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 故函数f（x）为奇函数
（2）∵f（a）+f（b）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）∵ $\text{[math]}$ =1
∴f（a）+f（b）=1 $\text{[math]}$ =2
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，解得： $\text{[math]}$
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 可得函数的定义域（-1，1），关于原点对称，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可判断函数奇偶性
（2）分别计算 f（a）+f（b）与 $\text{[math]}$ 可证
（3）由（2） $\text{[math]}$ 可得f（a）+f（b）=1 $\text{[math]}$ ，f（a）+f（b）=2结合奇函数的性质可得f（-b）=-f（b），从而可求
点评：本题主要考查了对数函数的定义域的求解，函数的奇欧性的判断及利用对数的基本运算性质证明等式，属于对数知识的综合应用．