Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点．
（Ⅰ）求a²-4b的最大值；
（Ⅱ）当a²-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）极值点处的导数为零，导数在区间[-1，1），（1，3]各有一根
（Ⅱ）切线l在点A处穿过y=f（x）的图象，切线在该点的一侧在y=f（x）的图象上边，切线在该点的另一侧在y=f（x）的图象下边，构造函数该点不是新函数的极值点求值．

解答：解：（I）因为函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx在区间[-1，1），（1，3]内分别有一个极值点，所以f'（x）=x²+ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，
设两实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），则x2-x1=

a2-4b

，且0＜x₂-x₁≤4．于是0＜

a2-4b

≤4，0＜a²-4b≤16，且当x₁=-1，x₂=3，即a=-2，b=-3时等号成立．故a²-4b的最大值是16．
（II）解法一：由f'（1）=1+a+b知f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程是y-f（1）=f'（1）（x-1），即y=(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a，
因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，
所以g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a]在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g（x）的极值点．
而g（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2+bx-(1+a+b)x+

2

3

+

1

2

a，且g'（x）=x²+ax+b-（1+a+b）=x²+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）．
若1≠-1-a，则x=1和x=-1-a都是g（x）的极值点．
所以1=-1-a，即a=-2．又由a²-4b=8，得b=-1．故f(x)=

1

3

x3-x2-x．
解法二：同解法一得g(x)=f(x)-[(1+a+b)x-

2

3

-

1

2

a]=

1

3

(x-1)[x2+(1+

3a

2

)x-(2+

3

2

a)]．
因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，所以g（x）在x=1两边附近的函数值异号．于是存在m₁，m₂（m₁＜1＜m₂）．
当m₁＜x＜1时，g（x）＜0，当1＜x＜m₂时，g（x）＞0；
或当m₁＜x＜1时，g（x）＞0，当1＜x＜m₂时，g（x）＜0．
设h(x)=x2+(1+

3a

2

)x-(2+

3a

2

)，则
当m₁＜x＜1时，h（x）＞0，当1＜x＜m₂时，h（x）＞0；
或当m₁＜x＜1时，h（x）＜0，当1＜x＜m₂时，h（x）＜0．
由h（1）=0知x=1是h（x）的一个极值点，则h′(1)=2×1+1+

3a

2

=0．
所以a=-2．又由a²-4b=8，得b=-1，故f(x)=

1

3

x3-x2-x．

点评：本题考查利用导数求函数的极值，函数为极值的条件，构造函数能力．