Question

函数y=a^x+3-2的图象恒过定点A，且点A在直线mx+ny+1=0上（m＞0，n＞0），则

1

m

+

3

n

的最小值为（　　）

A．12

B．10

C．8

D．14

Answer 1

分析：根据y=a^x过定点（0，1）求出点A的坐标，再把点A代入直线方程得到3m+n=1，再把“1”整体代入所求的式子，利用基本不等式求出最小值．

解答：解：∵函数y=a^x+3-2的图象恒过定点A，∴A（-3，-1），
∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴3m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

3

n

=（

1

m

+

3

n

）（3m+n）=6+

n

m

+

9m

n

≥6+6=12，当且仅当

n

m

=

9m

n

时取等号，
∴所求的最小值是12，
故选A．

点评：本题考查了基本不等式的应用，利用指数函数的图象过定点求出点的坐标，再由“1”的整体代换凑出积为定值，利用基本不等式进行求解，注意“一正、二定、三相等”的验证．