Question

2．△ABC中，三边a、b、c成等比数列．求证：acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$≥$\frac{3}{2}$b．

Answer 1

分析 由已知可得b²=ac，把要证的不等式左边降幂后利用余弦定理化角为边，然后利用基本不等式证得答案．

解答 证明：∵a、b、c成等比数列，
∴b²=ac．
∴acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{a（1+cosC）}{2}+\frac{c（1+cosA）}{2}$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}（acosC+ccosA）$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}（a•\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$$+c•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}）$
=$\frac{1}{2}（a+c）+\frac{1}{2}b≥\sqrt{ac}+\frac{b}{2}$
=$b+\frac{b}{2}=\frac{3}{2}b$．
∴acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$≥$\frac{3}{2}$b．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了余弦定理、基本不等式在解题中的应用，是中档题．