Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为

x=1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出；
（II）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t2-8

3

t-16=0．设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂．
利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程ρ=

4cosθ

sin2θ

，可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C 的直角坐标方程为y²=4x．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t2-8

3

t-16=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂．
则t₁+t₂=8

3

，t₁•t₂=-16．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(8 3 )2+4×16

=16．
则|AB|的值为16．

点评：本题查克拉极坐标方程化为普通方程、参数方程及其应用，考查了计算能力，属于基础题．