Question

【题目】已知椭圆 的焦距为 ，且过点 ，设 ， 是 上的两个动点，线段 的中点 的横坐标为 ，线段 的中垂线交椭圆 于 ， 两点．

（1）求椭圆 的方程；

（2）设点纵坐标为m，求直线的方程，并求出 的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)根据题意得到,.所以，于是 ，，进而得到方程；（2）分情况讨论，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ；当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，得到直线 斜率为 联立直线和椭圆得二次方程，，根据点在椭圆内得到，进而求得结果.

（1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点K ，所以,.所以，于是 ，，所以椭圆 的方程为 ．

（2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ．当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，

则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ．

联立 消去 ，整理得 ．

设 ，，所以，于是

由于 在椭圆的内部，故 ，

所以 ．

综上， 的取值范围为 ．